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经迅速上升到他所在领域的顶端

  自提出以来,黎曼猜想已经困扰了数学家一个多世纪。证明黎曼猜想无疑是数学家梦寐以求的愿望。因此对许多人而言,这个消息既让人兴奋,又让人怀疑。我们并不知道阿蒂亚给出的答案是否就是正确的,也不知道证明过程是否足够优雅简洁,能够很快被其他数学家消化。或许其他人可能要花上数年的时间才能做出判定。例如,我们不久前提到的破解了数学物理领域的13个难题中的“量子霍尔效应”,就耗费了多年的时间才得到了学界的认可(详见:《“已解决!” 数学物理领域的13个难题,终于有一个被完全破解!》)。
 
  在没有获得更多的信息之前,我们还无法知道黎曼猜想是否被证明了。但无论结果如何,这都是值得期待的一天。
 
  而另一个重磅新闻,也是今天将着重讨论的主题,则是曾经轰动一时的abc猜想的证明——它似乎正在面临史上最大挑战!
 
  2012年,日本京都大学的望月新一(Shinichi Mochizuki)在四篇总长度超过500页的论文中,提出了数论中最深远的问题之一——abc猜想的证明方法。但是,几乎没人能看懂他的论文,因为他采用的是自己发展起来的数学工具。除他本人之外,数学界并无他人通晓,致使无人能对望月新一的证明做出判断。
 
  但就在昨天,新晋菲尔兹奖得主Peter Scholze和数学家Jakob Stix在线上发表了一篇题为《为什么abc仍然是猜想》的论文,宣称找到了abc猜想证明的“严重的、不可修复的裂缝!”
 
  ○ 左:Peter Scholze;右:望月新一通过视频回答众人的疑惑。| 图片来源:Nyani Quarmyne/Philipp Ammon ○ 左:Peter Scholze;右:望月新一通过视频回答众人的疑惑。| 图片来源:Nyani Quarmyne/Philipp Ammon
 
  Peter Scholze和望月新一都是数学界的两位巨匠,他们都做出了革命性的贡献,开辟了新的框架并解决了大的问题。而不同的是,Peter Scholze的思想很快就可以被数学界吸收学习,而望月新一的理论至今都没有被主流数学界完全理解并承认。
 
  虽然有十多名深入研读过这个证明的数学家认为它是正确的,但是数学家Brian Conrad在去年十二月的博客讨论中评论说,断言证明正确性的只有”望月圈子“里的数学家,而其他人即使是在非正式的情况下,也没有愿意表达他们相信望月新一的证明是完备的。
 
  芝加哥大学的Frank Calegari在十二月的博客文章中写道:“数学家们非常不愿确切表示望月新一的论证有问题,是因为他们无法指出任何明确的错误。”
 
  现在,事情出现了转机。Scholze和Stix称,在望月新一四篇论文中的第三篇的“推论3.12”中,其证明结尾处有一行论证是根本错误的。而这一推论是望月新一abc证明的核心。
 
  Scholze说:“我认为abc猜想仍然是开放的问题,任何人都有机会证明它。”
 
  Scholze和Stix的结论不仅仅是基于他们自己对于那些论文的研究,还基于他们在今年三月份到访京都大学与望月新一和他的同事Yuichiro Hoshi讨论这个证明的经历。Scholze表示,这次为期一周的拜访帮助他和Stix提炼出了直达本质的反对理由。他们在报告中写道,他们“得出结论,(abc猜想)并没有证明”。
 
  但是他们的会面并没能产生令人满意的结论:望月新一无法说服Scholze和Stix确信他的论证是坚实可靠的,而他们二人也无法让望月新一信服他的证明是不正确的。现在,望月新一将Scholze和Stix的报告,以及几篇自己的反驳报告发布在自己的网站上。
 
  在反驳中,望月新一将Scholze和Stix的批评归因于他们对他的工作有着“某些根本性的误解”。
 
  正如同望月新一极高的声誉会让数学家将他的工作视为对abc猜想的一次认真尝试,Sholze和Stix的地位也会确保数学家将关注他们说了什么。尽管只有30岁,Scholze已经迅速上升到他所在领域的顶端,在八月,他才刚刚被授予了代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖。同时,Stix是望月新一研究的远阿贝尔几何(anabelian geometry)领域的专家。
 
  ○ Jakob Stix是远阿贝尔几何领域的专家。| 图片来源:MFO ○ Jakob Stix是远阿贝尔几何领域的专家。| 图片来源:MFO
 
  什么是abc猜想?
 
  abc猜想是数论领域中最重要的难题之一,是最初由法国数学家Joseph Oesterlé和英国数学家David Masser在1985年提出的纯数学问题。它的名字源于一个简单的方程 a+b = c,但它包含了对数的自然属性最深刻的探寻,直击数的基本性质。数学家们长期以来认为这个猜想是正确的,但却从来没有人能够证明这一点。
 
  在方程中, a、b、c三个数字都是正整数,且没有共同的质因数。因此,我们可以考虑诸如 8 + 9 = 17 或者 5 + 16 = 21 这样的方程,但不能是 6 + 9 = 15,因为6、9和15都可以被质数3整除。
 
  如果给定这样一个等式,我们可以找出能够被三个数同时整除的所有质数,例如对于方程 5 + 16 = 21,所有的质数有5、2、3、7。将这些质数相乘会得到210,比初始方程中的任何一个数都大得多。与此相反,对于方程 5 + 27 = 32,所有质数是5、3、2,它们的乘积是30,比初始方程中的32小。这个乘积之所以很小是因为27和32都只是很小的质因数(分别是3和2)多次相乘得到的。
 
  如果开始寻找其他abc三元组,会发现第二种情况非常罕见。例如,对于使用1到100之间的a和b能够产生的3044个不同的三元组,只有7个方程中这些质数的乘积小于c。上世纪八十年代首次提出的abc猜想试图证明这一直觉,那就是这种三元组很少出现。
 
  更具体地说来,仍旧回到5 + 27 = 32这个例子,32比30大,但是只大了一点点。32比30?或者301.5小,甚至也比301.02(约等于32.11)小。abc猜想说的是,选定任何一个大于1的指数x,只存在有限多的abc三元组使得c比质因数乘积的x次幂大。
 
  牛津大学的Minhyong Kim说:“abc猜想是关于乘法和加法的非常基本的表述。”这是那种“你仿佛在揭示数字系统的某种非常基本的结构,是你从未见过的结构”的论述。
 
  a+b=c的简单性意味着,许多其他问题都可以归入这个猜想的范围。例如,费马大定理是关于形式为xn+ yn= zn的方程(对于n>2的正整数,不存在三个正整数x,y,z使得方程成立);而卡塔兰猜想断言,8=23和9=32是仅有的两个都是正整数幂的连续整数,也就是关于方程xm+1=yn的解的问题。(特定形式的)abc猜想会为这两个定理提供新的证明,并解决一系列相关的开放性问题。
点击次数:  更新时间2018-09-23  【打印此页】  【关闭
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